В элементарной математике, самыми трудными считаются геометрические задачи. Как научиться решать геометрические задачи, особенно сложные, конкурсные? При решении геометрических задач, как правило, алгоритмов нет, и выбирать наиболее подходящую к данному случаю теорему не просто. Поэтому, желательно в каждой теме выработать какие-то общие положения, которые полезно знать всякому решающему геометрические задачи.
Предлагаем один из алгоритмов решения многих геометрических задач – метод площадей, т.е. решение задач с использованием свойств площадей.

Основные свойства площадей.

Свойство №1 Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной основанию, то площадь при этом не измениться.

Доказательство: Рассмотрим ▲ABC и ▲ADC. Они имеют общее основание и равные высоты, так как прямые  AC и  BD параллельные, то расстояние между ними равно h  - высоте ▲ABC и ▲ADC. Если площадь треугольника находится по формуле $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$$, то  $$S_{ABC} = S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h$$.

Свойство №2 Если два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей равно отношению длин оснований (сторон, на которые опущены эти высоты).

Доказательство: Пусть h1 = h2  в двух треугольниках с основаниями a  и b. Рассмотрим отношение площадей этих треугольников $$\frac{S_{1}}{S_{2}}= \frac{\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{1}}{\frac{1}{2} \cdot b \cdot h_{2}}$$. Упростив, получим $$\frac{S_{1}}{S_{2}}= \frac{a}{b}$$.

Свойство №3 Если два треугольника имеют общий угол, то их площади относятся как произведение сторон, заключающих этот угол.

Доказательство: Рассмотрим ▲ABC  и ▲MBN с общим углом B , где AB = a, BC = b,   MB = a1и NB = b1. Пусть S1 = SMBN  и S2 = SABC. Используя формулу площади треугольника вида $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin\gamma$$, рассмотрим отношение площадей ▲ABC  и ▲MBN .

Свойство №4 Отношение площадей подобных треугольников равны квадрату коэффициента подобия.

Доказательство: Рассмотрим  ▲ABC  и ▲MBN. Пусть AB = k MB, BC = k NB  и $$\angle ABC = \angle MBN$$. Используя формулу площади треугольника вида $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin\gamma$$, рассмотрим отношение подобных площадей ▲ABC и ▲MBN.   Тогда   $$\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot sin B}{\frac{1}{2} \cdot MB \cdot NB \cdot sin B}=       \frac{k \cdot NB \cdot k \cdot MB}{MB \cdot NB} = k^{2}$$ .

Свойство № 5 Медиана треугольника делит его на две равновеликие части.

Доказательство:  Рассмотрим ▲ABC . Пусть медиана  BM , тогда $$AM = MC = \frac{1}{2}AC$$. Медиана делит треугольник на два с одинаковой высотой. Найдем площади треугольников  ▲ABM и ▲MBC  по формуле $$S = \frac{1}{2}\cdot a \cdot h$$. Получим $$S_{ABM} = \frac{1}{2}\cdot AM \cdot h$$  и $$S_{MBC} = \frac{1}{2}\cdot MC \cdot h$$. Значит  $$S_{ABM} = S_{MBC}$$.

Свойство №6 Медианы треугольника делят его на три  равновеликие части.

Доказательство:  Рассмотрим ▲ABC. Проведем медианы из всех вершин, которые пересекаются в точке O. Получим треугольники ▲AOB, ▲BOC, ▲AOC. Пусть их площади равны соответственно  S1,  S2,  S3. А площадь  ▲ABC равна  S. Рассмотрим ▲ABK и  ▲CBK, они равной площади, т.к.  BK медиана. В треугольнике ▲AOC OK - медиана, значит площади треугольников ▲AOK и ▲COK  равны. Отсюда следует, что S1 = S2. Аналогично можно доказать, что S2 = S3 и S3 = S1 .

Свойство №7 Средние линии треугольника площади S  отсекают от него треугольники площади  .

Доказательство:  Рассмотрим ▲ABC. NM - средняя линия в треугольнике и она равна половине основания AC. Если SABC = S , то $$S_{NBM} = \frac{1}{2} \cdot NM \cdot h_{1}= \frac{1}{2}(\frac{1}{2} \cdot AC)(\frac{1}{2}\cdot h) = \frac{1}{4}\cdot S$$. Аналогично можно доказать, что площади всех треугольников равны одной четвертой части площади ▲ABC.

Свойство №8 Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих частей.

Доказательство:  По свойству №7 площади ▲AOB, ▲BOC, ▲AOC равны. По свойству №5 площади   ▲AOM, ▲BOM  равны. Значит  S1 = S6 . Аналогично S2 = S3. Если  S1 + S6 = S2 + S3  и 2S1 = 2S2  значит  S1 = S2. И так далее. получим, что все шесть треугольника имеют равные площади и они составляют шестую часть от площади ▲ABC.