Вспомним функции, известные нам из школьного учебника, одновременно повторим и их важнейшие свойства.

Эта функция задается формулой y = ax. Областью ее определения является множество действительных чисел. Областью ее значений тоже является множество действительных чисел. Графиком функции служит прямая, проходящая через начало координат, причем в случае  a > 0 она расположена в I и III четвертях, а в случае a < 0  — во II и IV четвертях. Число a  называется - угловым коэффициентом прямой. Оно показывает, что отношение ординаты у к абсциссе x  одинаково во всех точках графика: $$a = \frac{y}{x}$$ (кроме, конечно, точки O, где абсцисса и ордината равны нулю). Постоянство коэффициента а, постоянство наклона графика к оси абсцисс является характеристическим свойством прямой. Далее. Чем больше  |a|, тем прямая ближе к оси ординат, чем меньше, тем прямая ближе к оси абсцисс. Численно угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла между этой прямой и осью абсцисс (угол $$\phi$$  на рисунке).

В зависимости от конкретного смысла переменных   и   и постоянной а прямая пропорциональность имеет конкретный практический смысл.

Например, если, а рублей — цена 1 кг какого-то товара, то  y = ax.    есть   стоимость  x    килограммов   этого   товара.
Другой пример.  Задача о нахождении  p% от данного числа   решается по формуле  $$y = \frac{p}{100x}$$. Пример из другой области. Если  a = vкм/ч — скорость автомобиля,  x = t  часов — время его движения, то  y = s = v t — пройденный автомобилем путь. Из учебника физики вы знаете, что работа постоянной силы F на пути s равна их произведению, т.е. A = F s , это снова та же функция, только a = F, x = s, y = A. Из   учебника   геометрии   вам   известно,   что   площадь треугольника  $$S = \frac{1}{2}a \cdot h$$.
Совершенно разные явления из арифметики, из физики, из геометрии и т. д. описываются одной и той же функцией! А ведь это далеко не все примеры, можно привести еще немало подобных примеров.

Если b = 0, то линейная функция обращается в прямую пропорциональность, поэтому можно говорить, что прямая пропорциональность есть частный случай линейной функции. Графиком линейной функции служит прямая, она пересекает оси координат в точках  (0; b)  — ось ординат,  $$(-\frac{b}{a};0)$$ — ось абсцисс. Число а, как и для прямой пропорциональности, называется угловым коэффициентом, оно тоже показывает отношение ординаты (правда, теперь уменьшенной на b) к абсциссе $$a = \frac{y - b}{x}$$. Чем больше |a| , тем прямая ближе к вертикальному положению («круче»), чем |a|  меньше, тем она ближе к горизонтальному положению («положе»).

Отметим еще два особых случая расположения прямой. Если a = 0 , т.е. y = b , то прямая параллельна оси абсцисс и лежит на расстоянии  b от нее. Если же  x = c, то прямая окажется параллельной оси ординат и будет лежать на расстоянии c  от нее. Конечно, линейная функция тоже имеет большое практическое значение.

Вот несколько примеров.
1.Автомобиль, выехавший из пункта А, в настоящее время находится от него в 120 км. На каком расстоянии s от А будет находиться автомобиль через tч, если он будет двигаться в том же направлении со скоростью 50 км/ч? Ответ будет выражаться линейной функцией вида s = 50 t  + 120 .
2.Свеча длиной 25 см при горении уменьшается на 1,5 см за каждый час. Нетрудно сообразить, что ее длина l через t часов будет составлять l = 25 - 1,5t .
3.  Отправляя телеграмму, мы платим по 3 к. за каждое слово и 10 к. дополнительно. Общая стоимость телеграммы выражается линейной функцией  e = 3 x + 10.
4.  Из геометрии известна теорема: «Сумма углов выпуклого многоугольника равна 180°(n - 2 )». Раскроем скобки и, обозначив искомую сумму буквой S, получим линейную функцию S = 180°n  — 360°.
Конечно, каждый раз надо думать об области определения — нельзя же отправить телеграмму, содержащую 10,3 слов, или изобразить многоугольник с дробным числом сторон. Но главное мы видим снова — разные явления описываются одинаковой функцией.

Она задается формулой y = ax² + bx + c . В учебнике рассматриваются случаи y = ax² ,  y = ax² + c. Обычно этот вопрос изучают в школе очень обстоятельно, поэтому мы ограничимся лишь перечислением основных свойств  квадратичной функции.
Ее область определения — множество всех действительных чисел. Но с областью значений дело обстоит уже несколько сложнее. Прежде всего, приходится учитывать два случая: a > 0 и a < 0 . Если  a > 0, то при $$x = - \frac{b}{2a}$$ значение функции  $$y = \frac{b^{2}-4ac}{4a}$$ является наименьшим из всех возможных, т. е. область значений функции $$[\frac{b^{2}-4ac}{4a};+ \infty)$$. Если   же  a < 0,   то   при  $$x = - \frac{b}{2a}$$   значение функции  $$y = \frac{b^{2}-4ac}{4a}$$  оказывается наибольшим, а   область   значений   функции   теперь   будет  $$(-\infty; \frac{b^{2}-4ac}{4a}]$$. Особый   интерес   представляют те значения переменной  x, при которых функция обращается    в    нуль.    Их    находят,    решая    уравнение ax² + bx + c = 0  по известным формулам корней.
Можно привести немало примеров применения квадратичной функции, из которых главный известный из учебника физики — уравнение пути s равномерно-переменного движения с начальной скоростью v, ускорением а и путем, пройденным до начала отсчета  b : $$S = \frac{a}{2} \cdot t^{2}+v \cdot t+b$$.

Обратная пропорциональность

Эта функция задаете формулой $$y = \frac{k}{x}$$. Областью ее определения является множество действительных чисел, за исключением нуля. Это понятно - на нуль делить нельзя. Ясно это еще и потому что   обратную   пропорциональность   можно   определить  и иначе: если произведение  $$x \cdot y$$ всех пар соответственных значений переменных x  и  y равно постоянному числу k , отличному от нуля, то функция, связывающая эти переменные, называется обратной пропорциональностью. Но если так, то ни одно из этих чисел не может равняться нулю. Ясно, что множество значений функции тоже состоит из всех действительных чисел, кроме, разумеется, нуля. Графиком обратной пропорциональности служит гипербола. Если k > 0 , то ее ветви расположены в I и III четвертях, если  k < 0, то ветви гиперболы лежат во II и IV четвертях. И здесь характер графика зависит от модуля k — если |k|   близок к нулю, то ветви гиперболы прижимаются к осям координат, если же |k|  больше единицы, то ветви гиперболы все далее отодвигаются от осей.

С помощью обратной пропорциональности тоже описыаются многие явления. Вот несколько примеров.
1. В физике известен закон Бойля — Мариотта: произведение давления газа на его объем постоянно, если температура газа не меняется:  $$p \cdot V = k$$, где p  — давление, V — объем. Ясно, что этот закон может быть записан иначе: $$V = \frac{k}{p}$$.
А это и есть обратная пропорциональность, и график ее, конечно, - одна ветвь гиперболы (ясно, что объем и давление не могут быть отрицательными, поэтому область значения и область определения функции в данном случае есть множество только положительных чисел).
2. Второй пример возьмем тоже из физики. Вы хорошо знаете закон Ома: сила тока прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению цепи. Если I – сила тока, U – напряжение и R – сопротивление, то при постоянном напряжении $$I = \frac{U}{R}$$.
Снова встречаемся с обратной пропорциональностью!
Из курса физики известно, что тело,  брошенное под углом к горизонту, летит по параболе. Но если придать ему начальную скорость v₀  в пределах (7,9; 11,2), то оно на Землю не упадет, а превратится в ее спутник, движущийся по эллипсу. Именно так и летают искусственные спутники Земли. При скорости же 11,2 км/с тело вновь начнет двигаться по параболе и уйдет от земли навсегда. Навсегда уйдет оно от Земли и при   v_{0 >} 11,1 км/с – тут уж оно будет двигаться по гиперболе.

Вообще-то следовало бы изучить функцию y = ax³ + bx² + cx + d, но это дело довольно сложное. Конечно, если применить «тяжелую артиллерию» - математический анализ, то все трудности исчезнут, но мы ограничимся лишь простейшим случаем – функцией  y = ax³ .
И область ее определения, и множество значений есть множество действительных чисел. График этой функции называется кубической параболой. Она проходит через начало координат, ибо если x = 0 , то y = 0 . Коэффициент а снова играет роль «регулятора» - если a > 0 , то парабола расположена в I и III четвертях,  если a < 0 , то она расположена во II и I четвертях, если  |a|  близок к нулю, то парабола прижимается к оси абсцисс, если он велик, то парабола энергично устремляется вверх (и вниз) вблизи оси ординат. Конечно,  и эта функция имеет практическое значение, например, при нахождении объеме шара и вообще  объемы любых фигур.

Функция, задаваемая формулой $$y = \sqrt{x}$$.

Область определения этой функции есть множество неотрицательных чисел, область значений — тоже множество неотрицательных чисел. Графиком функции служит «половина» уже известной нам параболы, только расположенная несколько непривычно - она повернута на 180° вокруг прямой y = x, или, другими словами, новая кривая симметрична известной относительно биссектрисы первого координатного угла. Правила вычисления значений функции по значению переменной   довольно сложны, для этой функции составлены специальные таблицы. Впрочем, можно использовать для отыскания ее значений таблицы квадратов чисел.

Определение функции по Бернулли

Мы уже немало поработали с различными функциями, но не повторили определения этого понятия, т. е. пока не дали четкого ответа на вопрос: что называется функцией? Обратимся    к    школьному    учебнику    алгебры. В нем написано: «Зависимость переменной y  от переменной  x называется функцией, если каждому значению x  соответствует единственное значение y».
Однако  если   бы   мы   прочитали   это   определение   знаменитому швейцарскому математику Иоганну  Бернулли, он бы, пожалуй, не согласился с нами и сказал бы, что можно гораздо проще и понятнее объяснить, что такое функция, примерно так: «Функцией переменной величины называется количество, составленное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных».
Если попытаться переложить мысль И. Бернулли на современный язык, то получается, что надо взять какую-то переменную и при помощи известных нам алгебраических операций каким угодно способом составить формулу, в которой, конечно, могут участвовать и всякие постоянные коэффициенты. По этой формуле из переменной  x и будут получаться значения  y (И. Бернулли называет их «количествами»). Еще проще — функция есть формула, с помощью которой из x  получается y.
Действительно,  очень  просто,   и  можно  подумать,  что математикам   времен   И. Бернулли   было   гораздо   легче, чем школьникам нашего времени. Чтобы  ответить   на  этот  вопрос,   обратимся   к  одному хорошо   известному   вам   примеру.
В учебнике геометрии дано следующее определение: «Синусом острого угла называется отношение катета, противолежащего этому углу, к гипотенузе». Но, как по данному значению угла вычислить значение синуса? Иначе говоря, можем ли мы, зная, например, что угол равен 5°, найти его синус? Ведь вот для функции  y = 3x можно сразу найти значение, соответствующее числу 5 - достаточно умножить 3 на 5 и результат готов. И для функций $$y = \frac{1}{2}x^{2}$$  — пожалуйста: $$y = \frac{1}{2}x^{2}$$.  И   для   всех   шести   известных   нам   функций   можно   по любому конкретному значению  вычислить значение y, — именно так и писал И. Бернулли.
А для синуса? Что делать с этим числом 5? По какой формуле? Нет, такой формулы не существует, и существовать не может. Значения синусов вычисляют для любого значения угла при помощи рядов, они позволяют достичь любой точности, но это совсем не формулы в том смысле, как это понимаем мы, и как это понимал И. Бернулли.
Может быть, не считать синус функцией? Конечно, это нелепо. Синус, а вслед за ним косинус, тангенс и масса других… Других чего? Других соответствий, других связей между множествами, других способов делать так, чтобы каждому элементу одного множества отвечал определенный элемент другого... Вот мы и подходим к школьному определению, определению более современному, включающему в себя и то определение, которое сформулировал И. Бернулли. Все, что он по этому поводу сказал, верно, но его определение охватывает лишь часть функций, имеющихся в природе. Таким образом: синус, косинус, тангенс и другие соответствия между множествами считают функциями, сформулировав определение этого понятия так, как это сделано в нашем школьном учебнике алгебры.
Можно сформулировать определение функции и еще, как говорят математики, строже: «Отношение между двумя множествами, при котором каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества, называется функцией». При таком определении уже не говорится не только о формуле, но даже и о зависимости, и функцией можно называть самые разнообразные явления природы и общества.