{{ message }}

Задачник

Профиль. Часть II. 18.

всего: 100 заданий


    Найдите все положительные значения $$ a $$, при каждом из которых система
    $$ \left\{\begin{matrix} \left ( \left | x \right |-3\right )^{2}+\left ( y+4\right )^{2} = 1\\\left ( x+1\right )^{2}+\left ( y+3\right )^{2} = {a}^{2} \end{matrix}\right. $$
    имеет единственное решение.
    • Если $$a=|CO_1|-1$$ или $$a=|CO_1|+1$$, то окружность с центром $$C$$ касается окружности с центром $$O_1$$;
      если $$a \lt |CO_1|-1$$ или $$a \gt |CO_1|+1$$, то окружности не пересекаются;
      если $$a \in \left ( |CO_1|-1; |CO_1|+1 \right ) $$, то окружности пересекаются в двух точках;
      Аналогичные утверждения и для окружности с центром в точке $$O_2$$.
    • График первого уравнения системы представляет собой две параболы, с вершинами в точках $$O_1(3;-4)$$ и $$O_2(-3;-4)$$.
      График второго уравнения системы представляет собой параболу, с вершиной в точке $$C(-1;-3)$$.
    • График системы уравнений:
      1-ое - две окружности радиуса $$1$$, с центрами в точках $$O_1(3;-4)$$ и $$O_2(-3;-4)$$;
      2-ое - окружность радиуса $$a$$, с центром в точке $$C(-1;-3)$$.
    • Парабола с вершиной $$C$$ касается параболы с вершиной $$O_1$$, если $$a=|CO_1|-1$$ или $$a=|CO_1|+1$$, где $$|CO_1|=\sqrt {17}$$.
      Парабола с вершиной $$C$$ касается параболы с вершиной $$O_2$$, если $$a=|CO_2|-1$$ или $$a=|CO_2|+1$$, где $$|CO_2|=\sqrt {5}$$.
    • Ответ: $$\sqrt {5}-1; \sqrt {17}+1$$.
    • Ответ: $$\sqrt {17}-1; \sqrt {5}+1$$.
    • Ответ: $$\sqrt {17}-1; \sqrt {17}+1; \sqrt {5}-1; \sqrt {5}+1$$.