{{ message }}

Задачник

Часть 2. Геометрия. 25

всего: 100 заданий


    В остроугольном треугольнике $$ CAB $$ проведены высоты $$ CC_1 $$ и $$ AA_1 $$. Докажите, что углы $$ CC_1A_1 $$ и $$ CAA_1 $$ равны.
    C A B C1 A1
    • Треугольники $$CAC_1$$ и $$CAA_1$$ - прямоугольные и имеют общую гипотенузу $$CA$$, значит треугольники подобные.
    • Так как треугольник $$CAB$$ остроугольный, то высоты $$CC_1$$ и $$AA_1$$ пересекаются.
    • Углы $$CC_1A_1$$ и $$CAA_1$$ - вписанные и опираются на одну дугу окружности, значит они равны.
    • Углы $$ACC_1$$ и $$CC_1A_1$$ равны, как накрест лежащие углы, значит угол $$CC_1A_1$$ равен углу $$CAA_1$$.
    • Углы $$ACC_1$$ и $$CAA_1$$ - соответственные углы подобных треугольников, значит они равны между собой.
    • Прямоугольные треугольники $$CAC_1$$ и $$CAA_1$$ имеют общую гипотенузу $$CA$$, значит существует окружность описана около четырехугольника $$CAC_1A_1$$