Банк заданий: Часть 2. Геометрия. 25



1 В остроугольном треугольнике $$ CAB $$ проведены высоты $$ CC_1 $$ и $$ AA_1 $$. Докажите, что углы $$ CC_1A_1 $$ и $$ CAA_1 $$ равны.
C A B C1 A1
2 В треугольнике $$ ABC $$ с тупым углом $$ C $$ проведены высоты $$ AM $$ и $$ BN $$. Докажите, что треугольники $$ MCN $$ и $$ ACB $$ подобны.
A B C M N
3 Биссектрисы углов $$ A $$ и $$ B $$ параллелограмма $$ ADCB $$ пересекаются в точке $$ X $$, лежащей на стороне $$ DC $$. Докажите, что $$ X $$ - середина $$ DC $$.
A Y B D C X
4 Сторона $$ DC $$ параллелограмма $$ ADCB $$ вдвое больше стороны $$ AD $$. Точка $$ R $$- середина стороны $$ DC $$. Докажите, что $$ AR $$ - биссектриса угла $$ DAB $$.
A T B D C R
5 Через $$ O $$ точку пересечения диагоналей параллелограмма $$ ADCB $$ проведена прямая, пересекающая стороны $$ AD $$ и $$ CB $$ в точках $$ P $$ и $$ Q $$ соответственно. Докажите, что отрезки $$ DP $$ и $$ BQ $$ равны.
A O B Q D C P
6 Биссектрисы углов $$ D $$ и $$ M $$ трапеции $$ CDMN $$ с основаниями $$ CN $$ и $$ DM $$ пересекаются в точке $$ O $$, лежащей на стороне $$ CN $$. Докажите, что точка $$ O $$ равноудалена от прямых $$ CD $$, $$ DM $$ и $$ MN $$.
C O N D M
7 В трапеции $$ ABPL $$ с основаниями $$ AL $$ и $$ BP $$ диагонали пересекаются в точке $$ O $$. Докажите, что площади треугольников $$ AOB $$ и $$ POL $$ равны.
A O L B P
8 На средней линии трапеции $$ ABCD $$ с основаниями $$ AD $$ и $$ BC $$ выбрали произвольную точку $$ E $$. Докажите, что сумма площадей треугольников $$ BEC $$ и $$ AED $$ равна половине площади трапеции.
A E D B C
9 Точка $$ E $$ - середина боковой стороны $$ CD $$ трапеции $$ CDPQ $$. Докажите, что площадь треугольника $$ EPQ $$ равна половине площади трапеции.
C F E Q D P
10 Основания $$ BX $$ и $$ AY $$ трапеции $$ ABXY $$ равны соответственно $$ 8 $$ и $$ 32 $$, $$ BY $$=$$ 16 $$. Докажите, что треугольники $$ XBY $$ и $$ BYA $$ подобны.
A Y B X